作図を合同で正当化する — なぜその弧の交点でよいのか

前のレッスンでは、垂直二等分線と角の二等分線を「等しい半径の弧」で作図しました。ここでは、その作図が本当に正しいこと(交点を結んだ直線が、確かに垂直二等分線・角の二等分線になっていること)を、合同を使って証明します。

垂直二等分線の作図が正しい理由

線分 $AB$ に対して、 $A,B$ をそれぞれ中心にした半径 $r$ の弧の交点を $P,Q$ とします。このとき $AP=BP=AQ=BQ=r$ ( $4$ つとも同じ弧の半径)です。

ステップ1: $\triangle APQ \equiv \triangle BPQ$

$\triangle APQ$ と $\triangle BPQ$ において

$AP=BP=r$ …弧の半径
$AQ=BQ=r$ …弧の半径
$PQ=PQ$ …共通な辺
$3$ 組の辺がそれぞれ等しいので、 $\triangle APQ \equiv \triangle BPQ$ (SSS)
合同な図形の対応する角は等しいので、 $\angle APQ=\angle BPQ$

つまり、直線 $PQ$ は $\angle APB$ を $2$ 等分しています。

ステップ2: 直線 $PQ$ と直線 $AB$ の交点 $M$ で、 $\triangle APM \equiv \triangle BPM$

$AP=BP=r$ …弧の半径
$\angle APM=\angle BPM$ …ステップ1の結論( $M$ は線分 $PQ$ 上の点)
$PM=PM$ …共通な辺
$2$ 組の辺とその間の角がそれぞれ等しいので、 $\triangle APM \equiv \triangle BPM$ (SAS)
合同な図形の対応する辺・角は等しいので、 $AM=BM$ 、 $\angle AMP=\angle BMP$

$\angle AMP$ と $\angle BMP$ は $A,M,B$ が一直線上にあるので足すと $180^\circ$ になり、しかも等しいので、それぞれ $90^\circ$ です。 $AM=BM$ (中点)かつ $\angle AMP=90^\circ$ (垂直)ですから、直線 $PQ$ はまさしく $AB$ の垂直二等分線です。

角の二等分線の作図が正しい理由

角 $\angle XOY$ に対して、頂点 $O$ を中心にした半径 $r_1$ の弧との交点を $X,Y$ 、 $X,Y$ を中心にした半径 $r_2$ の弧の交点を $Z$ とします。 $OX=OY=r_1$ 、 $XZ=YZ=r_2$ です。

$\triangle OXZ$ と $\triangle OYZ$ において

$OX=OY=r_1$ …弧の半径
$XZ=YZ=r_2$ …弧の半径
$OZ=OZ$ …共通な辺
$3$ 組の辺がそれぞれ等しいので、 $\triangle OXZ \equiv \triangle OYZ$ (SSS)
合同な図形の対応する角は等しいので、 $\angle XOZ=\angle YOZ$

これで半直線 $OZ$ が角 $\angle XOY$ を $2$ 等分することが示せました。 $2$ つの作図はどちらも、SSS(または SSS→SAS)という同じ道具立てで正当化できます。

応用 — 三角形の外心

垂直二等分線には「その線上の点は、もとの $2$ 点から等距離」という性質がありました(前のステップ2で示した通りです)。これを三角形の $3$ 辺すべてに使うと、面白いことが起こります。

辺 $AB$ の垂直二等分線上の点は、 $A,B$ から等距離。
辺 $BC$ の垂直二等分線上の点は、 $B,C$ から等距離。

この $2$ 本の垂直二等分線の交点を $O$ とすると、 $O$ は( $AB$ の垂直二等分線上にあるので) $OA=OB$ 、( $BC$ の垂直二等分線上にあるので) $OB=OC$ 。合わせて $OA=OB=OC$ となり、 $O$ は $3$ 頂点すべてから等距離です。この点を三角形の外心と呼び、 $O$ を中心に半径 $OA$ の円を描くと、 $3$ 頂点すべてを通る円(外接円)になります。

OA=3.34

OB=3.34

OC=3.34

頂点

A,B,C

をドラッグしてみましょう。

3

辺それぞれの垂直二等分線(紫)は形によらず必ず

1

点

O

(外心)で交わり、その点は

3

頂点すべてから等距離になります。

三角形の形を変えても、 $3$ 本の垂直二等分線は必ず $1$ 点で交わり、その点は $3$ 頂点から等距離になっています。

理解チェック

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

垂直二等分線の作図の正しさを示す証明で、 $\triangle APQ \equiv \triangle BPQ$ を示すのに使った合同条件はどれですか?

確認 2 / 3

垂直二等分線の証明のステップ2で、 $\angle AMP=\angle BMP$ かつ足すと $180^\circ$ になることから、何が分かりますか?

確認 3 / 3

三角形の外心 $O$ について、正しい説明はどれですか?

📖

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執筆・監修: 中野竜之介（北海道大学大学院数学専攻博士課程・専門: 特殊関数論と代数幾何の交わり）

最終更新: 2026-07-05

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