平行四辺形と四角形 — 動かしても崩れない性質を見つける

四角形 $ABCD$ が、$2$組の対辺($AB$と$DC$、$BC$と$AD$)がそれぞれ平行であるとき、平行四辺形と呼びます。 定義はこれだけですが、この $1$つの条件から、いくつもの性質が芋づる式に出てきます。

触ってみる — 平行四辺形の頂点を動かす

頂点 $A,B,C$ をドラッグしてみましょう。頂点 $D$ は、四角形 $ABCD$ がつねに平行四辺形になるように自動で追従します。

対辺: $AB=4.61$, $CD=4.61$ / $BC=3.81$, $DA=3.81$

対角: $\angle A=79.3^\circ$, $\angle C=79.3^\circ$

対角線 $AC$ の中点 $(0, 0.25)$ と $BD$ の中点 $(0, 0.25)$ は常に一致します。

点 A の座標

$A_x$$A_y$

点 B の座標

$B_x$$B_y$

点 C の座標

$C_x$$C_y$

点Aは(-3, -1)、点Bは(1.5, -2)、点Cは(3, 1.5)。第4頂点Dは自動で(-1.5, 2.5)に決まります。対辺ABとCDの長さはそれぞれ4.61と4.61、BCとDAの長さはそれぞれ3.81と3.81です。

形をどれだけ変えても、次の $3$つが崩れないことに気づきます。

• 対辺: $AB=DC$、$BC=DA$($2$組の対辺がそれぞれ等しい)
• 対角: $\angle A=\angle C$、$\angle B=\angle D$($2$組の対角がそれぞれ等しい)
• 対角線: $AC$ と $BD$ はいつも同じ点(それぞれの中点)で交わる

これらは平行四辺形の性質で、「$2$組の対辺が平行」という定義だけから導かれます(証明は次のレッスンで扱います)。

特別な四角形 — 長方形・ひし形・正方形

平行四辺形の中には、対角線がさらに特別な性質を持つものがあります。

• 長方形: すべての角が $90^\circ$。対角線の長さが等しい。
• ひし形: すべての辺の長さが等しい。対角線が直交する。
• 正方形: 長方形でもひし形でもある。対角線が等しく、かつ直交する。

四角形のプリセット

平行四辺形長方形ひし形正方形

辺 p4辺 q2.6間の角 φ70°

対角線: $AC=5.47$, $BD=3.96$対角線は直交していません

辺pは4、辺qは2.6、間の角は70度です。対角線ACは5.47、BDは3.96で、長さが異なり、直交していません。

辺の長さ $p,q$ と間の角 $\varphi$ を動かして確かめてみましょう。 $\varphi=90^\circ$ にすると対角線の長さがそろい、$p=q$(となり合う辺が等しい)にすると対角線が直交します。 どちらも満たすと正方形になり、正方形は長方形でもひし形でもある、という包含関係が見えてきます。

理解チェック

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

平行四辺形の定義として正しいものはどれですか?

4つの角がすべて等しい四角形4つの辺の長さがすべて等しい四角形対角線の長さが等しい四角形2組の対辺がそれぞれ平行な四角形

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確認 2 / 3

平行四辺形 $ABCD$ で、対角線 $AC$ と $BD$ の交点を $O$ とするとき、必ず成り立つのはどれですか?

$AC=BD$(対角線の長さが等しい)$AO=CO$ かつ $BO=DO$(対角線がそれぞれの中点で交わる)$AC \perp BD$(対角線が直交する)$AO=BO=CO=DO$(4つとも等しい)

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確認 3 / 3

ある平行四辺形の対角線の長さが等しく、かつ直交もしているとき、この四角形は何であると言えますか?

ひし形だが正方形ではない台形正方形長方形だが正方形ではない

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