平行四辺形を証明する — 対角線で三角形に分けて確かめる

前のレッスンで見つけた性質(対辺・対角・対角線)を、対角線で $2$つの三角形に分けて、合同から証明します。使うのは「$2$直線が平行なら錯角が等しい」(第5章)と、この章までの合同条件です。

対辺・対角が等しいことの証明

平行四辺形 $ABCD$($AB \parallel DC$、$AD \parallel BC$)に対角線 $BD$ を引きます。

$\triangle ABD$ と $\triangle CDB$ において

1. $\angle ABD=\angle CDB$ …錯角($AB \parallel DC$、$BD$が横切る)
2. $\angle ADB=\angle CBD$ …錯角($AD \parallel BC$、$BD$が横切る)
3. $BD=DB$ …共通な辺
4. $1$辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、$\triangle ABD \equiv \triangle CDB$(ASA)
5. 対応する辺が等しいので、$AB=CD$、$AD=CB$(「対辺がそれぞれ等しい」)
6. 対応する角が等しいので、$\angle A=\angle C$

$\angle B$ と $\angle D$ についても、$\angle B=\angle ABD+\angle DBC$、$\angle D=\angle CDB+\angle BDA$ で、$\angle ABD=\angle CDB$、$\angle DBC=\angle BDA$(ともにステップ1・2で示した錯角)なので、$\angle B=\angle D$。これで「対角がそれぞれ等しい」ことも示せました。

対角線がそれぞれの中点で交わることの証明

対角線 $AC,BD$ の交点を $O$ とします。$\triangle AOB$ と $\triangle COD$ において

1. $\angle OAB=\angle OCD$ …錯角($AB \parallel DC$、$AC$が横切る)
2. $AB=CD$ …前の証明の結論
3. $\angle OBA=\angle ODC$ …錯角($AB \parallel DC$、$BD$が横切る。前の証明の $\angle ABD=\angle CDB$ と同じ)
4. $1$辺とその両端の角がそれぞれ等しいので、$\triangle AOB \equiv \triangle COD$(ASA)
5. 対応する辺が等しいので、$AO=CO$、$BO=DO$(「対角線はそれぞれの中点で交わる」)

平行四辺形になる条件(逆を確かめる)

「平行四辺形なら成り立つ」ことの逆、つまり「この条件が成り立てば平行四辺形になる」も成り立ちます。次の $4$つのどれか $1$つが言えれば、その四角形は平行四辺形です。

• 2組の対辺がそれぞれ等しい: 対角線 $BD$ を引くと、$AB=CD$、$AD=CB$、$BD=DB$(共通)で $\triangle ABD \equiv \triangle CDB$(SSS)。$\angle ABD=\angle CDB$ となり、これは錯角なので $AB \parallel DC$。同様に $AD \parallel BC$。
• 2組の対角がそれぞれ等しい: $\angle A=\angle C$、$\angle B=\angle D$ で、四角形の内角の和は $360^\circ$ だから $2(\angle A+\angle B)=360^\circ$、つまり $\angle A+\angle B=180^\circ$。これは $AD,BC$ を $AB$ が横切ったときの同側の内角の和が $180^\circ$ になる形で、$AD \parallel BC$ を意味します。同様に $AB \parallel DC$。
• 対角線が互いを二等分する: $AO=CO$、$BO=DO$ なら、$\triangle AOB \equiv \triangle COD$(SAS: $AO=CO$、対頂角 $\angle AOB=\angle COD$、$BO=DO$)。$\angle OAB=\angle OCD$ は錯角なので $AB \parallel DC$。同様に $\triangle AOD \equiv \triangle COB$ から $AD \parallel BC$。
• 1組の対辺が平行かつ等しい: $AB \parallel DC$ かつ $AB=DC$ なら、錯角 $\angle ABD=\angle CDB$ と合わせて $\triangle ABD \equiv \triangle CDB$(SAS)。対応する辺 $AD=CB$ と、対応する角 $\angle ADB=\angle CBD$(錯角)から $AD \parallel BC$。よって両方の対辺が平行になり平行四辺形。

誤りやすい点 — 1組の対辺が等しいだけでは足りない

「$1$組の対辺が等しい」だけで、平行の指定がない場合は、平行四辺形になるとは限りません。

上底の長さを変えても、脚 $AD=BC$(1組の対辺)はつねに等しいままです。しかし、もう $1$組の対辺 $AB,DC$ は平行なのに長さが違うので、対角線の中点は一致せず、平行四辺形にはなりません(これは等脚台形と呼ばれる図形です)。平行四辺形になる条件は、あくまで「等しい」と「平行」がセットになった形($1$組の対辺が平行かつ等しい)か、$2$組ともの条件でなければいけません。

特別な四角形のまとめ

• 長方形: 平行四辺形で、対角線の長さが等しい(同値な言い方: すべての角が $90^\circ$)。
• ひし形: 平行四辺形で、対角線が直交する(同値な言い方: すべての辺の長さが等しい)。
• 正方形: 長方形でもひし形でもある(対角線が等しく、かつ直交する)。

包含関係は「正方形 $\subset$ 長方形」「正方形 $\subset$ ひし形」「長方形 $\subset$ 平行四辺形」「ひし形 $\subset$ 平行四辺形」です。長方形とひし形は、どちらも平行四辺形の特別な場合であり、互いには含まれません。

理解チェック