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相関と散布図

「勉強時間が長い人ほど点数が高い」——2つの量の関係の強さを1つの数字にしたのが相関係数 $r$ です。 $r$ は $-1$ から $+1$ の値を取り、$+1$ に近いほど右上がりの直線に、$-1$ に近いほど右下がりの直線に近づきます。

触ってみる

点をドラッグして $r$ がどう変わるか観察してください。

やってみてほしい実験:

• 1点だけを左上の隅へ引きずる → $r$ が激変するはず。相関係数は外れ値に非常に弱い
• 点を円形に並べる → 「きれいな関係」があるのに $r \approx 0$。相関係数は直線的な関係しか測れない
• 全点を横一列に並べる → 縦の散らばりがなくなると $r$ は定義不能に近づく

種明かし

相関係数の正体は、共分散を「それぞれの散らばり」で割って規格化したものです。

$$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2} \sqrt{\sum (y_i - \bar{y})^2}}$$

分子の $(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ は「$x$ も $y$ も平均より大きい(または小さい)点」でプラスになります。 つまり右上と左下に点が多ければ $r > 0$。それだけの話です。

相関 ≠ 因果

アイスの売上と水難事故は強く相関しますが、アイスを禁止しても事故は減りません。裏に「気温」という交絡因子がいるからです。 相関係数は「一緒に動く度合い」しか測っておらず、どちらが原因かは何も語りません。データ分析で最も多い誤用がここです。

理解チェック

$r = 0.9$ のデータに外れ値を1点加えたら $r = 0.3$ になりました。逆に、$r$ を上げる外れ値はあり得るでしょうか?

答えを見る

あり得ます。点群の右上の延長線上の遠くに1点置くと、$r$ は 1 に近づきます。上の図で試してください。外れ値は相関を「壊す」だけでなく「捏造」もできる——散布図を見ずに $r$ だけ報告してはいけない理由です。