相関と散布図

「勉強時間が長い人ほど点数が高い」。2つの量の関係の強さを1つの数字にしたのが相関係数 $r$ です。 $r$ は $-1$ から $+1$ の値を取り、$+1$ に近いほど右上がりの直線に、$-1$ に近いほど右下がりの直線に近づきます。

触ってみる

点をドラッグして $r$ がどう変わるか観察してください。

編集する点点1点2点3点4点5点6点7点8点9点10点11点12

選択した点の座標

$x_{1}$$y_{1}$

リセット

相関係数rは0.971です。

やってみてほしい実験:

• 1点だけを左上の隅へ引きずる → $r$ が激変するはず。相関係数は外れ値に非常に弱い
• 点を円形に並べる → 「きれいな関係」があるのに $r \approx 0$。相関係数は直線的な関係しか測れない
• 全点を横一列に並べる → 縦の散らばりがなくなると $r$ は定義不能に近づく

種明かし

相関係数の正体は、共分散を「それぞれの散らばり」で割って規格化したものです。

$$r = \frac{\sum (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})}{\sqrt{\sum (x_i - \bar{x})^2} \sqrt{\sum (y_i - \bar{y})^2}}$$

分子の $(x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$ は「$x$ も $y$ も平均より大きい(または小さい)点」でプラスになります。 つまり右上と左下に点が多ければ $r > 0$。それだけの話です。

相関 $\ne$ 因果

アイスの売上と水難事故は強く相関しますが、アイスを禁止しても事故は減りません。裏に「気温」という交絡因子がいるからです。 相関係数は「一緒に動く度合い」しか測っておらず、どちらが原因かは何も語りません。データ分析で最も多い誤用がここです。

理解チェック

$r = 0.9$ のデータに外れ値を1点加えたら $r = 0.3$ になりました。逆に、$r$ を上げる外れ値はあり得るでしょうか?

答えを見る

あり得ます。点群の右上の延長線上の遠くに1点置くと、$r$ は 1 に近づきます。上の図で試してください。外れ値は相関を「壊す」だけでなく「捏造」もできます。散布図を見ずに $r$ だけ報告してはいけない理由です。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

すべての点が完全な右下がりの直線上に並んでいるとき、相関係数 $r$ はいくつになりますか?

答え

±√π

確認

ヒントを見る

確認 2 / 3

点をきれいな円形に並べると、明らかな関係があるのに $r \approx 0$ になりました。この理由は?

点の数が足りないから外れ値があるから相関係数は直線的な関係しか測れないから計算を間違えているから

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確認 3 / 3

アイスの売上と水難事故の件数は強く相関します。しかしアイスを禁止しても事故は減りません。なぜですか?

裏に「気温」という交絡因子があり、相関は因果を意味しないから本当はアイスが事故の原因だから相関係数の計算が誤っているからサンプルが小さすぎるから

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