分散・標準偏差を使いこなす

前回のレッスンでは、ヒストグラムの階級幅を動かし、シーソーで平均値と中央値の違いを体感しました。 今回は同じ道具を「読む」から「計算して使う」に進めます。統計検定2級の頻出地帯です。

分散の計算、2つの顔

定義通りの計算は「偏差→2乗→平均」でした:

$$s^2 = \frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^{n}(x_i - \bar{x})^2$$

実務と試験で多用するのは、展開して得られるもう1つの顔です。ただし注意が必要で、「2乗の平均 − 平均の2乗」がぴったり一致するのは分母 $n$ の標本分散の方で、分母 $n-1$ の不偏分散 $s^2$ とは少しずれます。

$$\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}(x_i-\bar{x})^2 = \overline{x^2} - (\bar{x})^2, \qquad s^2 = \frac{n}{n-1}\left(\overline{x^2} - (\bar{x})^2\right)$$

例えばデータ 1, 2, 3, 4, 5(平均3、$\overline{x^2}=11$)では $\overline{x^2}-(\bar{x})^2 = 11-9=2$(標本分散)ですが、不偏分散は $s^2 = \frac{5}{4}\times 2 = 2.5$ です。$n$ が大きくなるほど $n/(n-1)$ は1に近づくので、大標本では近似的に $s^2 \approx \overline{x^2} - (\bar{x})^2$ と扱って構いません。

「2乗の平均」と「平均の2乗」の差というこの形は、この先、確率変数の分散 $V(X) = E(X^2) - (E(X))^2$ として何度も再登場します。ここが初出です。

データを一様に変換すると何が起きるか

全員の点数を $a$ 倍して $b$ 点足す($y = ax + b$)と:

• 平均: $\bar{y} = a\bar{x} + b$(両方の影響を受ける)
• 標準偏差: $s_y = |a| \, s_x$($b$ は散らばりに無関係)

偏差値はこの変換の応用です。平均50・標準偏差10になるように

$$T = 50 + 10 \times \frac{x - \bar{x}}{s_x}$$

とデータを引き伸ばしたものさしの規格化でした。中身の $\frac{x-\bar{x}}{s_x}$ は「平均から標準偏差何個分離れているか」を表し、第5章でz値という名前で主役になります。

箱ひげ図と四分位範囲

散らばりの指標は標準偏差だけではありません。データを4等分する四分位数を使うと:

• 四分位範囲 IQR = 第3四分位数 − 第1四分位数(真ん中50%の幅)
• 箱ひげ図 = 中央値・四分位数・外れ値を1つの図に圧縮した表現

外れ値に引きずられにくいのが強みで、平均・標準偏差ペアと使い分けます(歪んだ分布では中央値・IQRが安全)。

操作チャレンジ — 図で解く3問

計算式を、手の感覚と一致させましょう。

式で確かめる

動かして掴んだ感覚を、式と言葉で確かめます。間違えても、ヒントと解説で戻れます。

確認 1 / 3

標準偏差 $s_x$ = 4 のデータを y = 3x + 10 と変換しました。変換後の標準偏差 $s_y$ はいくつですか?

答え

±√π

確認

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確認 2 / 3

平均 55・標準偏差 5 のテストで 65 点を取った人の偏差値($T = 50 + 10 \times (x - \text{平均})/s$)はいくつですか?

答え

±√π

確認

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確認 3 / 3

全員の点数に一律 10 点を加えると、標準偏差はどうなりますか?

半分になる変わらない10 倍になる10 増える

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